CUADRO - " LA SOCIEDAD DEL CONOCIMIENTO"

ELABORACIÒN PROPIA- GRUPO 3

DIAGRAMA DE ISHIKAWA - "LA SOCIEDAD DEL CONOCIMIENTO"

ELABORACIÓN PROPIA - GRUPO 3

https://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Ishikawa

Ejemplo de ecuaciones básicas

• ¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud pueda ser establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar.

1.  3·x + 5 = 3 - 2·x 
2.  3·x - 2·(x + 1) = 2·(3·x - 1) + 4
3.   3·(1 - 2·x) - 4·(1 - x) = x - 2·(1 + x)
4.  x - 1     2 - x
    ——————— = ———————
      2         3   
5.  2·(x - 2)     3·(1 - x)    
   ——————————— + ——————————— = 1
        3             2        
6. 2·(2 - x)     3·(2·x - 3)     4·(1 - x)    

   
   
   

   
   
   

   
   

   ——————————— - ————————————— = ——————————— + 2
        5              2              3 

FÓRMULAS DE MATEMÁTICA ESTADÍSTICA

FÓRMULAS DE MATEMÁTICA ESTADÍSTICA

• Moda

La moda, M_o, es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

L_i-1 es el límite inferior de la clase modal.

f_i es la frecuencia absoluta de la clase modal.

f_i--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la en clase modal.

f_i-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.

a_i es la amplitud de la clase.

También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:

2º Los intervalos tienen amplitudes distintas.

En primer lugar tenemos que hallar las alturas.

La clase modal es la que tiene mayor altura.

La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:

• Mediana

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.

1 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.

2 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

Mediana para datos agrupados

 es la semisuma de las frecuencias absolutas.

L_i-1 es el límite inferior de la clase donde se encuentra .

F_i-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

a_i es la amplitud de la clase.

1. Media aritmética

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total dedatos.

2.  Cuartiles

Los cuartiles son los tres valores de la variable dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.

Cálculo de los cuartiles

1 Ordenamos los datos de menor a mayor.

2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión .

Cálculo de los cuartiles para datos agrupados

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

Deciles

Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.

Cálculo de deciles

Ordenamos los datos de menor a mayor.

Buscamos la puntuación, en la serie, o la clase, en la tabla de las frecuencias acumuladas, donde se encuentra , .

Percentiles

Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.

Cálculo de percentiles

Ordenamos los datos de menor a mayor.

Buscamos la puntuación, en la serie, o la clase, en la tabla de las frecuencias acumuladas, donde se encuentra ,.

• Desviación media

La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

Desviación media para datos agrupados

• Varianza

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.

• Varianza para datos agrupados

Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

1. Varianza para datos agrupados

• Desviación típica

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Desviación típica para datos agrupados

Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Desviación típica para datos agrupados

• Coeficiente de variación

El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media.

Coeficiente de variación en tanto por ciento

• Puntuaciones diferenciales

Las puntuaciones diferenciales resultan de restarles a las puntuaciones directas la media aritmética.

x_i = X_i − X

Puntuaciones típicas

Las puntuaciones típicas son el resultado de dividir las puntuaciones diferenciales entre la desviación típica. Este proceso se llama tipificación.

Distribuciones bidimensionales

• Covarianza

• Coeficiente de correlación lineal

• Recta de regresión de Y sobre X

• Recta de regresión de X sobre Y

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Ecuaciones de Segundo Grado

Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x. 
Hemos visto que una ecuación de segundo grado es una ecuación en su forma ax² + bx + c = 0, donde  a, b, y c son números reales.
  
 Ecuación de segundo grado completa Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes  a,  b,  y  c  son distintos de cero. 
Entonces, la expresión de una ecuación de segundo grado completa es

 ax² + bx + c = 0.

Ecuación de segundo grado incompleta

Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos  b  o  c,  o ambos, son cero.

(Si a = 0, la ecuación resultante sería  bx + c = 0,  que no es una ecuación de segundo grado.)

La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es:

• ax² = 0;   si    b = 0    y    c = 0.
• ax² + bx = 0;    si    c = 0.
• ax² + c = 0;    si    b = 0.

Soluciones:
Solución por factorización 
En toda ecuación  cuadrática uno  de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios. 
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

Solución por completación de cuadrados
Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:

(ax + b)² = n

en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)², es el cuadrado de la suma de un binomio.
Partiendo de una ecuación del tipo 
x² + bx + c = 0

por ejemplo, la ecuación 
x² + 8x = 48, Al primer miembro de la ecuación (x² + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo
(ax + b)² 
Que es lo mismo que(ax + b) (ax + b)
Que es lo mismo que ax² + 2axb + b²
En nuestro ejemplo
x² + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a² + 2ab + b²) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término (4² = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos 
x² + 8x + 16 = 64
la cual, factorizando, podemos escribir como sigue: 
(x + 4) (x + 4) = 64 Que es igual a (x + 4)² = 64
Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos 
 Nos queda x + 4 = 8 Entonces x = 8 − 4 x = 4
Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)², que es el cuadrado perfecto de un binomio.

Solución por la fórmula general  Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−)  antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y  c y sustituir sus valores en la fórmula.

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.

Ejemplos:
1) Resolver: − 5x² + 13x + 6 = 0 
 a = − 5;  b = 13;  c = 6. 

Probando con x = 3. Resulta: −5 • (3)2 + 13 • (3) + 6 = −45 + 39 + 6 = 0, tal como se esperaba en el segundo miembro.
Probando con ,  se tiene

mbas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 3 y  son las raíces de − 5x² + 13x + 6 = 0

2.Resolver: 6x − x² = 9

− x² + 6x − 9 = 0. Ahora se identifican las letras:

a = −1 ;  b = 6 ;  c = −9 ; y se aplica la fórmula:

El discriminante   es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces iguales a 3, es decir, x₁ = x₂ = 3.

Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que: 6•3 − 32 = 18 − 9 = 9 con lo cual se ha comprobado la respuesta.

3. 
a = 1,                b = −10        c = 21

Los números buscados son 7 y 3.